Question

11．已知椭圆Γ：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$经过点$M（{\sqrt{3}，\frac{1}{2}}）$，且离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）设点M在x轴上的射影为点N，过点N的直线l与椭圆Γ相交于A，B两点，且$\overrightarrow{NB}+3\overrightarrow{NA}$=0，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）将点代入椭圆方程，由椭圆的离心率公式求得a²=4b²，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）分类讨论，当直线l斜率不为0时，设直线l的方程，代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得m的值，求得直线方程．

解答 解：（1）由已知将$M（{\sqrt{3}，\frac{1}{2}}）$代入椭圆方程：$\frac{3}{a^2}+\frac{1}{{4{b^2}}}=1$，①
由题意的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，a²=4b²，②
由①②，解得：a=2，b=1，
∴椭圆Γ的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）由已知N的坐标为$（{\sqrt{3}，0}）$，
当直线l斜率为0时，直线l为x轴，易知$\overrightarrow{NB}+3\overrightarrow{NA}=0$不成立．
当直线l斜率不为0时，设直线l的方程为$x=my+\sqrt{3}$，
代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，整理得，$（{4+{m^2}}）{y^2}+2\sqrt{3}my-1=0$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${y_1}+{y_2}=\frac{{-2\sqrt{3}m}}{{4+{m^2}}}$，①${y_1}{y_2}=\frac{-1}{{4+{m^2}}}$，②
由$\overrightarrow{NB}+3\overrightarrow{NA}=0$，得y₂=-3y₁，③
由①②③解得$m=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
所以直线l的方程为$x=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}y+\sqrt{3}$，即$y=±\sqrt{2}（{x-\sqrt{3}}）$，
直线l的方程$y=±\sqrt{2}（{x-\sqrt{3}}）$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．