Question

2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=6，sinA-sinC=sin（A-B）；
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若b=2$\sqrt{7}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数恒等变换化简已知可得cosB=$\frac{1}{2}$，结合B的范围即可解得B的值．
（Ⅱ）根据余弦定理可解得a=2或a=4，从而有三角形面积公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵sinA=sinC+sin（A-B）=sin（A+B）+sin（A-B）=2sinAcosB，
∴cosB=$\frac{1}{2}$
∴由0＜B＜π，即可解得：B=$\frac{π}{3}$…7分
（Ⅱ）根据余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，有（2$\sqrt{7}$）²=a²+6²-12acos$\frac{π}{3}$，即a²-6a+8=0，
解得：a=2或a=4，
当a=2时，S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×2×6×sin\frac{π}{3}$=3$\sqrt{3}$；
当a=4时，S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×4×6×sin\frac{π}{3}$=6$\sqrt{3}$…8分．

点评 本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，解题时注意分情况讨论，属于基本知识的考查．