Question

10．若二项式（$\frac{a}{x}-x\sqrt{x}$）ⁿ（n∈N^*）展开式中含有x²项，且a=${∫}_{-1}^{2}$|x|dx，则当n取最小值时，展开式的各项系数之和为$\frac{27}{8}$．

Answer 1

分析 利用定积分求出a，结合二项式（$\frac{a}{x}-x\sqrt{x}$）ⁿ（n∈N^*）展开式中含有x²项，可得n的最小值，再令x=1，即可得出结论．

解答 解：a=${∫}_{-1}^{2}$|x|dx=${∫}_{-1}^{0}$（-x）dx+${∫}_{0}^{2}$xdx=（-$\frac{1}{2}$x²）${|}_{-1}^{0}$+$\frac{1}{2}$x²${|}_{0}^{2}$=$\frac{5}{2}$，
二项式（$\frac{a}{x}-x\sqrt{x}$）ⁿ（n∈N^*）展开式的通项为T_r+1=${C}_{n}^{r}（\frac{5}{2}）^{n-r}•{x}^{\frac{5}{2}r-n}$，
由$\frac{5}{2}r$-n=2，可得n取最小值3，r=2，
∴展开式的各项系数之和为（a-1）³=$\frac{27}{8}$．
故答案为：$\frac{27}{8}$．

点评 本题考查二项式定理的运用，考查定积分，考查学生的计算能力，属于中档题．