Question

12．已知点A（0，1），直线l：y=kx+m与圆O：x²+y²=1交于B，C两点，△ABC与△OBC的面积分别为S₁，S₂，若S₁≥2S₂，且∠BAC=60°，则m的取值范围是[-1，-$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 求出圆心、点A到直线的距离分别为d，d′，由$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{{d}^{′}}{d}$，利用S₁≥2S₂，求得m的范围．再根据S_△OBC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，可得S₁≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，化简可得|m-1|≥1．再根据圆心到直线的距离小于半径求得m的范围．把以上m的范围取交集，即得所求．

解答 解：设圆心O、点A到直线的距离分别为d，d′，则d=$\frac{|m|}{\sqrt{{1+k}^{2}}}$，d′=$\frac{|m-1|}{\sqrt{{1+k}^{2}}}$，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{{d}^{′}}{d}$=$\frac{|m-1|}{|m|}$≥2，∴-1≤m≤$\frac{1}{3}$ ①．
根据∠BAC=60°，可得BC对的圆心角∠BOC=120°，且BC=$\sqrt{3}$．
∴S_△OBC=$\frac{1}{2}$•OB•OC•sin∠BOC=$\frac{1}{2}$×1××sin120°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴S₁≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴S₁=$\frac{1}{2}$BC•d′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{|m-1|}{\sqrt{{1+k}^{2}}}$≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴|m-1|≥$\sqrt{{k}^{2}+1}$，
∴|m-1|≥1，解得 m≥2或 m≤0 ②．
再根据△OBC为等腰三角形，BOC=120°，且BC=$\sqrt{3}$．
∴圆心到直线的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{{1+k}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，∴m≤-$\frac{1}{2}$ 或m≥$\frac{1}{2}$③．
结合①②③可得-1≤m≤-$\frac{1}{2}$，
故答案为：[-1，-$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．