Question

10．某射击运动员进行射击训练，前三次射击在靶上的着弹点A、B、C刚好是边长为3cm的等边三角形的三个顶点．
（Ⅰ） 该运动员前三次射击的成绩（环数）都在区间[7.5，8.5）内，调整一下后，又连打三枪，其成绩（环数）都在区间[9.5，10.5）内．现从这6次射击成绩中随机抽取两次射击的成绩（记为a和b）进行技术分析．求事件“|a-b|＞1”的概率．
（Ⅱ）第四次射击时，该运动员瞄准△ABC区域射击（不会打到△ABC外），则此次射击的着弹点距A、B、C的距离都超过1cm的概率为多少？（弹孔大小忽略不计）

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用列举法得到所有事件个数，以及满足条件的事件个数，利用古典概型个数求概率；
（Ⅱ）由题意，所求为几何概型概率，所以只要明确三角形区域面积以及射击的着弹点距A、B、C的距离都超过1cm区域面积，利用几何概型公式解答即可．

解答 解：（Ⅰ）前三次射击成绩依次记为x₁，x₂，x₃，后三次成绩依次记为y₁，y₂，y₃，从这6次射击成绩中随机抽取两个，
基本事件是：{x₁，x₂}，{x₁，x₃}，{x₂，x₃}，{y₁，y₂}，{y₁，y₃}，{y₂，y₃}，{x₁，y₁}，{x₁，y₂}，{x₁，y₃}，
{x₂，y₁}，{x₂，y₂}，{x₂，y₃}，}，{x₃，y₁}，{x₃，y₂}，{x₃，y₃}，共15个      …（3分）
其中可使|a-b|＞1发生的是后9个基本事件．故$P（|a-b|＞1）=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$．…（6分）
（Ⅱ）因为着弹点若与A、B、C的距离都超过1cm，则着弹点就不能落在分别以A，B，C为中心，半径为1cm的三个扇形区域内，只能落在扇形外．…（7分）
因为${S}_{△}=\frac{1}{2}×3×3sin60°=\frac{9\sqrt{3}}{4}$                         …（8分）
部分的面积为$S'={S}_{△ABC}-3×\frac{1}{2}×{1}^{2}×\frac{π}{3}=\frac{9\sqrt{3}}{4}-\frac{π}{2}$，…（10分）
故所求概率为P=$\frac{S'}{S}=1-\frac{2\sqrt{3}π}{27}$．…（12分）

点评 本题考查了古典概型和几何概型概率求法；明确概率模型，利用相关的公式解答是关键．