Question

已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；
（3）当时，函数图像上的点都在所表示的平面区域内，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）当时，函数取得极大值；（2）；（3）.

试题分析：（1）将代入函数解析式，直接利用导数求出函数的单调递增区间和递减区间，从而可确定函数的极值；(2)将条件“在区间上为减函数”等价转化为“不等式在区间上恒成立”，结合参数分离法进一步转化为，从中根据二次函数的图像与性质求出在上的最小值即可解决本小问；（3）因函数图像上的点都在所表示的平面区域内，则当时，不等式恒成立，即恒成立，设（），只需即可，转化思想的运用.
试题解析：（1）当时，

由，由
故当时，单调递增；当时，单调递减
所以当时，函数取得极大值          4分
（2），∵函数在区间上单调递减
∴在区间上恒成立，即在上恒成立，只需不大于在上的最小值即可            6分
而，则当时，
∴，即，故实数的取值范围是．         8分
（3）因图像上的点在所表示的平面区域内，即当时，不等式恒成立，即恒成立，设（），只需即可．
由，
（ⅰ）当时，，当时，，函数在上单调递减，故成立．                                  9分
（ⅱ）当时，由，令，得或，
①若，即时，在区间上，，函数在上单调递增，函数在上无最大值，不满足条件；
②若，即时，函数在上单调递减，在区间上单调递增，同样在上无最大值，不满足条件．               11分
（ⅲ）当时，由，因，故，则函数在上单调递减，故成立．
综上所述，实数的取值范围是．                 12分