Question

8．如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，在直角梯形ABEF中，BE=2，AF=3，BE∥AF，∠BAF=90°，平面ABCD⊥平面ABEF．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面ABEF；
（Ⅱ）求证：CD∥平面AEF；
（Ⅲ）求三棱锥D-AEF的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AB⊥AC，由此利用平面ABCD⊥平面ABEF，能证明AC⊥平面ABEF．
（Ⅱ）求出CD∥AB，由此能证明CD∥平面AEF．
（Ⅲ）由V_{三棱锥D-AEF}=V_{三棱锥C-AEF}，能求出三棱锥D-AEF的体积．

解答 证明：（Ⅰ）∵在△ABC中，AB=1，BC=2，∠ABC=60°，
∴AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos∠ABC
=${1}^{2}+{2}^{2}-2×1×2×\frac{1}{2}$=3，
∴AC²+AB²=BC²，∴AB⊥AC，
∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
且AC?平面ABCD，
∴AC⊥平面ABEF．
（Ⅱ）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∵CD?平面ABEF，AB?平面ABEF，
∴CD∥平面AEF．
解：（Ⅲ）连结CF，由（Ⅱ）知CD∥平面AEF，
∴点D到平面AEF的距离等于点C到平面AEF的距离，
由（Ⅰ）知AC=$\sqrt{3}$，
∴三棱锥D-AEF的体积V_{三棱锥D-AEF}=V_{三棱锥C-AEF}=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×3×1）×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．