Question

3．设数列{a_n}的前n项和为S_n，若点${A_n}（{n，\frac{S_n}{n}}）$在函数f（x）=-x+c的图象上运动，其中c是与x无关的常数，且a₁=3．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记${b_n}={a_{a_n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）将A_n代入直线方程，则S_n=-n²+cn，由a₁=3，即可求得c的值，由a_n=S_n-S_n-1，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）即可求得数列{b_n}的通项公式，根据等差数列的前n项和公式，即可求得T_n，根据二次函数的性质，即可求得数列{b_n}的前n项和T_n的最小值．

解答 解：（1）点${A_n}（{n，\frac{S_n}{n}}）$在函数f（x）=-x+c的图象上运动，则$\frac{{S}_{n}}{n}$=-n+c，
则S_n=-n²+cn，
由a₁=3，则a₁=-1+c，c=4，
∴S_n=-n²+4n，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（-n²+4n）-[-（n-1）²+4（n-1）]=-2n+5，
当n=1时，满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=-2n+5；
（2）${b_n}={a_{a_n}}$=-2a_n+5=-2（-2n+5）+5=4n-5，
∴数列{b_n}为等差数列，
则数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{n（{b}_{1}+{b}_{n}）}{2}$=2n²-3n，
则当n=1时，T_n取最小值，最小值为T₁=-1，
∴数列{b_n}的前n项和T_n的最小值-1．

点评 本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式，考查数列的最值，等差数列前n项和最值的求法，考查计算能力，属于中档题．