Question

2．已知a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），若称使乘积a₁×a₂×a₃×…×a_n为整数的数n为劣数，则在区间（1，2002）内所有的劣数的和为（　　）

• A． 2026
• B． 2046
• C． 1024
• D． 1022

Answer 1

分析 由题意，及对数的换底公式知，a₁•a₂•a₃…a_n=log₂（n+2），由此知，劣数+2必为2的整数次幂，由此易得出劣数表达式，此区间（1，2010）内所有劣数的和是一个数列求和问题，由此计算出值选出正确答案．

解答 解：由题意a_n=log_（n+1）（n+2），（n∈N^*），若称使乘积a₁•a₂•a₃…a_n为整数的数n为劣数且a₁•a₂•a₃…a_n=log₂（n+2）
故劣数n=2^k-2，故最小的劣数为2=2²-2，令n=2^k-2＜2010，
由于2¹⁰-2=1022，2¹¹-2=2046
故最大的劣数为2¹⁰-2，
∴（1，2010）内所有劣数的和为2²-2+2³-2+2⁴-2+…+2¹⁰-2=$\frac{{2}^{2}（1-{2}^{9}）}{1-2}$-18=2¹¹-22=2026．
故选：A．

点评 本题考查数列的求和，正确理解劣数定义，找出区间（1，2010）内所有劣数，以及熟练掌握数列求和的技巧分组求和是求解本题的关键，本题中难点是理解劣数的定义，由此定义得出劣数的结构，将求和的问题转化为数列求和的问题．