Question

7．（1）已知$f（\frac{2}{x}+1）$=lgx，求f（x）；
（2）定义在（-1，1）内的函数f（x）满足2f（x）-f（-x）=lg（x+1），求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）考虑换元，令$\frac{2}{x}+1=t$，从而可解出x，带入原函数解析式便可得出f（x）的解析式；
（2）根据条件，将2f（x）-f（-x）=lg（x+1）中的x换上-x，便可又得到一个关于f（x）和f（-x）的等式，联立这两个等式即可解出f（x），即得出函数f（x）的解析式．

解答 解：（1）令t=$\frac{2}{x}$+1，则x=$\frac{2}{t-1}$；
∴f（t）=lg $\frac{2}{t-1}$；
即f（x）=lg $\frac{2}{x-1}$；
（2）x∈（-1，1）时，有2f（x）-f（-x）=lg（x+1）①；
∴以-x代x得，2f（-x）-f（x）=lg（-x+1）②；
由①②消去f（-x）得，f（x）=$\frac{2}{3}$lg（x+1）+$\frac{1}{3}$lg（1-x），x∈（-1，1）．

点评 本题考查函数解析式的定义及求法，换元法求函数解析式，以及构造关于f（x），f（-x）的方程组，从而解出f（x）的方法．