题目内容
体积为
的三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，已知△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，则球O的表面积为（ ）
| ||
| 6 |
| A、π | B、2π | C、4π | D、6π |
考点：球的体积和表面积,球内接多面体
专题：综合题,空间位置关系与距离
分析：根据题意作出图形，欲求球O的表面积，只须求球的半径r．利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r的方程，即可求出r，从而解决问题．
解答：
解：根据题意作出图形：
设球心为O，球的半径r．过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，
延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．
∵CO1=
×
=
，
∴OO1=
，
∴高SD=2OO1=2
，
∵△ABC是边长为1的正三角形，
∴S△ABC=
，
∴V三棱锥S-ABC=
×
×2
=
，
∴r=1．则球O的表面积为4π
故选：C．
设球心为O，球的半径r．过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，
延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．
∵CO1=
| 2 |
| 3 |
| ||
| 2 |
| ||
| 3 |
∴OO1=
r2-
|
∴高SD=2OO1=2
r2-
|
∵△ABC是边长为1的正三角形，
∴S△ABC=
| ||
| 4 |
∴V三棱锥S-ABC=
| 1 |
| 3 |
| ||
| 4 |
r2-
|
| ||
| 6 |
∴r=1．则球O的表面积为4π
故选：C．
点评：本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．
练习册系列答案
相关题目
若双曲线
-
=1（a＞0，b＞0）与直线y=
x无交点，则
的取值范围是（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| b |
| a |
A、（0，
| ||
B、（0，
| ||
C、（
| ||
D、[
|
记集合A={（x，y）|
}、B={（x，y）|x2+y2≤1}构成的平面区域分别为M、N，现随机地向N中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入M中的概率为（ ）
|
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）=
，则f（3）=（ ）
| 1 |
| x-1 |
| A、1 | ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|