题目内容
19．已知等比数列{an}前n项和满足Sn=1-A•3n，数列{bn}是递增数列，且bn=An2+Bn，则A=1，B的取值范围为（-3，+∞）．分析 由等比数列{an}前n项和满足Sn=1-A•3n，分别求出前三项，利用等比数列{an}中${{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{3}$，能求出A．根据数列{bn}是递增数列，且bn=An2+Bn=n2+Bn，利用bn+1-bn＞0，能求出B的取值范围．
解答 解：∵等比数列{an}前n项和满足Sn=1-A•3n，
∴a1=S1=1-3A，
a2=S2-S1=（1-9A）-（1-3A）=-6A，
a3=S3-S2=（1-27A）-（1-9A）=-18A，
∵等比数列{an}中${{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{3}$，
∴36A2=（1-3A）（-18A），
解得A=1或A=0（舍），故A=1．
∵数列{bn}是递增数列，且bn=An2+Bn=n2+Bn，
∴bn+1-bn=（n+1）2+B（n+1）-（n2+Bn）=2n+1+B＞0．
∴B＞-2n-1，
∵n∈N*，∴B＞-3．
∴B的取值范围为（-3，+∞）．
故答案为：1，（-3，+∞）．
点评 本题考查实数值的求法，考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质、递增数列的性质的合理运用．
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