Question

已知函数f（x）=

|lnx|，(0＜x≤e) 2-lnx，(x＞e)

，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为（　　）

• A、（1+e，1+e+e²）
• B、（

  1

  e

  +2e，2+e²）
• C、（2

  1+e2

  ，2+e²）
• D、（2

  1+e2

  ，

  1

  e

  +2e）

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：画出函数的图象，判断a，b，c的范围，然后推出a+b+c的取值范围．

解答： 解：函数f（x）=

|lnx|，(0＜x≤e) 2-lnx，(x＞e)

，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），如图，不妨a＜b＜c，
由已知条件可知：0＜a＜1＜b＜e＜c＜e²，
∵-lna=lnb，∴ab=1
∵lnb=2-1nc∴bc=e²，
∴a+b+c=b+

e2+1

b

，（1＜b＜e），
令h（b）=b+

e2+1

b

，（1＜b＜e），
由（b+

e2+1

b

）′=1-

e2+1

b

＜0，故（1，e）为减区间，
∴2e+

1

e

＜a+b+c＜e²+2，
∴a+b+c的取值范围是：（

1

e

+2e，2+e2．

点评：本题考查函数的图象的应用，函数的零点的判定，基本知识的考查数形结合的应用．