Question

16．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
（1）求椭圆标准方程；
（2）过点（-1，0）的直线l与椭圆交于A、B两点，且|AB|=$\sqrt{2}$+1，求直线l的斜率．

Answer 1

分析 （1）由c=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a=$\sqrt{2}$，b²=a²-c²=2-1=1，即可求得椭圆方程；
（2）由题意可知：当斜率不存在时，|AB|=$\sqrt{2}$，不满足，设直线方程为：y=k（x+1），代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式即可求得|AB|，代入即可求得k的值．

解答 解：（1）由题意可知：c=1，
由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即a=$\sqrt{2}$，
由b²=a²-c²=2-1=1，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）当斜率不存在时，将直线x=-1代入椭圆方程，求得A（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
|AB|=$\sqrt{2}$，与|AB|=$\sqrt{2}$+1矛盾，
l的斜率存在，设直线l的方程为：y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
由|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{16{k}^{4}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}-\frac{4（2{k}^{2}-2）}{1+2{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}$+1，
整理得k²=$\sqrt{2}$-1，
∴k=±$\sqrt{\sqrt{2}-1}$，
直线l的斜率±$\sqrt{\sqrt{2}-1}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及弦长公式的应用，考查计算能力，属于中档题．