Question

圆锥PO如图1所示，图2是它的正（主）视图．已知圆O的直径为AB，C是圆周上异于A、B的一点，D为AC的中点
（1）求该圆锥的侧面积S；
（2）求证：平面PAC⊥平面POD；
（3）若∠CAB=60°，在三棱锥A-PBC中，求点A到平面PBC的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）确定圆的半径，求出圆锥的母线长，可得圆锥的侧面积S；
（2）连接OC，先根据△AOC是等腰直角三角形证出中线OD⊥AC，再结合PO⊥AC证出AC⊥POD，利用平面与平面垂直的判定定理，可证出平面POD⊥平面PAC；
（3）若∠CAB=60°利用等体积转化，可求出距离，

解答： （1）解：由正（主）视图可知圆锥的高PO=

2

，圆O的直径为AB=2，故半径r=1．
∴圆锥的母线长PB=

PO2+OB2

=

3

，
∴圆锥的侧面积S=πrl=π×1×

3

=

3

π．            （4分）
（2）证明：连接OC，
∵OA=OC，D为AC的中点，∴OD⊥AC．
∵PO⊥圆O，AC?圆O，∴PO⊥AC．
∵OD∩PO=O，∴AC⊥平面POD．
又AC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面POD…（8分）
（3）解：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，又∠CAB=60°，∴S_△CAB=

3

2

∵PO=

2

∴三棱锥A-PBC的体积为

1

3

•

3

2

•

2

=

6

6

，
△PBC中，BC=PB=PC=

3

，∴S_△PBC=

3

4

3

，
设点A到平面PBC的距离为h，则

1

3

•

3

4

3

h=

6

6

，
∴h=

2 2

3

． （12分）

点评：本题考查三视图，考查面面垂直，考查侧面积与体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．