Question

已知数列{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，且a₁=11，b₁=1，a₂+b₂=11，a₃+b₃=11．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{|a_n-b_n|}的前12项的和S₁₂．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列与等比数列的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，依题意，得，解之即可求得数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：|a_n-b_n|=|13-2n-2^n-1|；通过对0＜n≤3与n≥4的讨论，去掉绝对值符号后分利用分组求和的方法即可求得数列{|a_n-b_n|}的前12项的和S₁₂．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，
则

11+d+q=11 11+2d+q2=11

，解得

d=-2 q=2

，
∴a_n=-2n+13，b_n=2^n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：|a_n-b_n|=|13-2n-2^n-1|；
（i）当0＜n≤3时，a_n＞b_n，a_n-b_n=13-2n-2^n-1；
（ii）n≥4时，a_n＜b_n，|a_n-b_n|=b_n-a_n=2^n-1-（13-2n）．
∴|a_n-b_n|=

13-2n-2n-1，n≤3 2n-1+2n-13，n≥4

，
∴S₁₂=（11-1）+（9-2）+（7-4）-（5-8）-…-（-11-2¹¹）
=20+（8+16+…+2¹¹）-[5+3+…+（-11）]
=4135．

点评：本题考查等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查方程思想与分类讨论思想、等价转化思想的综合应用，属于难题．