Question

已知函数f（x）=

a(x2+1)+x-1

x

-lnx（a∈R）．
（1）当0＜a＜

1

2

时，讨论f（x）的单调性；
（2）设g（x）=x²-2bx+4，当a=

1

3

时，若对任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）+g（x₂）≤0，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）直接利用函数与导数的关系，求出函数的导数，再讨论函数的单调性；
（2）利用导数求出f（x）的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出g（x）在闭区间[1，2]上的最大值，然后解不等式求参数．

解答： 解（1）∵f（x）=

a(x2+1)+x-1

x

-lnx
当

1-a

a

＞1时，即0＜a＜

1

2

时，此时f（x）的单调性如下：

x	（0，1）	1	（1， 1-a a ）	1-a a	（ 1-a a ，+∞）
f′（x）	+	0	_	0	+
f（x）	增		减		增

当0＜a＜

1

2

时时，f（x）在（0，1），（

1-a

a

，+∞）上是增函数，
在（1，

1-a

a

）上是减函数．
（2）由（1）知，当a=

1

3

时，f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，2）上是减函数．
于是x₁∈（0，2）时，f（x₁）∈（-∞，

2

3

]．
存在x₂∈[1，2]，从而存在使g（x₂）=x²-2bx+4≤

x

2 2

-2bx2+4≤[-f(x1)]min=-

2

3

，[g(x)]min≤-

2

3

，x∈[1，2]，
考察g（x）=x²-2bx+4=（x-b）²+4-b²，x∈[1，2]最小值．
①当b≤1时，g（x）在[1，2]上递增，[g（x）]_min=g（1）=5-2b≤-

2

3

，b≥

17

6

（舍去），
②当b≥2时，g（x）在[1，2]上递减，[g（x）]_min=g（2）=8-4b≤-

2

3

，b≥

13

6

，
∴b≥

13

6

，
③当1＜b＜2时，g（x）_min=g（b）=4-b²≤

2

3

，无解．
综上b≥

13

6

．

点评：本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力．