题目内容
已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+4x+1．
（Ⅰ）求当x≤0时，f（x）的表达式；
（Ⅱ）求满足不等式f（x2-2）＜f（x）的x的取值范围．
（Ⅰ）求当x≤0时，f（x）的表达式；
（Ⅱ）求满足不等式f（x2-2）＜f（x）的x的取值范围．
考点：奇偶性与单调性的综合
专题：函数的性质及应用
分析：（Ⅰ）根据函数的奇偶性性即可求出当x≤0时，f（x）的表达式；
（Ⅱ）根据函数的奇偶性和单调性之间的关系将不等式f（x2-2）＜f（x）进行转化即可求x的取值范围．
（Ⅱ）根据函数的奇偶性和单调性之间的关系将不等式f（x2-2）＜f（x）进行转化即可求x的取值范围．
解答：
解：（Ⅰ）当x＜0时，-x＞0，f（-x）=x2-4x+1，…（2分）
又f（x）为奇函数，∴f（x）=-f（-x），…（4分）
即f（x）=-x2+4x-1．…（5分）
又f（-0）=-f（0），即f（0）=0，…（6分）
故当x≤0时，f(x)=
．…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在R上是增函数，…（9分）
∴f（x2-2）＜f（x）?x2-2＜x，…（10分）
即x2-x-2＜0…（11分）
解得-1＜x＜2．…（13分）
又f（x）为奇函数，∴f（x）=-f（-x），…（4分）
即f（x）=-x2+4x-1．…（5分）
又f（-0）=-f（0），即f（0）=0，…（6分）
故当x≤0时，f(x)=
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（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在R上是增函数，…（9分）
∴f（x2-2）＜f（x）?x2-2＜x，…（10分）
即x2-x-2＜0…（11分）
解得-1＜x＜2．…（13分）
点评：本题主要考查奇偶性的应用以及不等式的求解，根据奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．
练习册系列答案
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