Question

15．如图，AB是圆O的直径，矩形DCBE垂直于圆O所在的平面，AB=4，BE=2．
（Ⅰ）证明：平面ADE⊥平面ACD；
（Ⅱ）当三棱锥C-ADE体积最大时，求三棱锥C-ADE的高．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明BC⊥AC，CD⊥BC，推出BC⊥平面ACD，得到DE⊥平面ACD，然后证明平面ADE⊥平面ACD．
（Ⅱ）通过${V_{C-ADE}}={V_{E-ACD}}=\frac{1}{3}{S_{△ACD}}•DE=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AC•CD•DE=\frac{1}{3}AC•BC$，利用基本不等式求解最大值，然后通过设三棱锥C-ADE的高为h，利用${V_{C-ADE}}=\frac{1}{3}•{S_{△ADE}}•h=\frac{8}{3}$，求解即可．

解答 （Ⅰ）证明：因为AB是直径，所以BC⊥AC，
因为矩形DCBE垂直于⊙O所在的平面，
所以CD⊥平面ABC，CD⊥BC，
又CD∩AC=C，所以BC⊥平面ACD，
因为四边形DCBE为矩形，
所以BC∥DE，所以DE⊥平面ACD，
又DE?平面ADE，
所以平面ADE⊥平面ACD．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知${V_{C-ADE}}={V_{E-ACD}}=\frac{1}{3}{S_{△ACD}}•DE=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AC•CD•DE=\frac{1}{3}AC•BC$$≤\frac{1}{6}（A{C^2}+B{C^2}）$=$\frac{1}{6}A{B^2}=\frac{8}{3}$，
当且仅当$AC=BC=2\sqrt{2}$时等号成立，
此时$AD=\sqrt{{2^2}+{{（2\sqrt{2}）}^2}}=2\sqrt{3}$，${S_{△ADE}}=\frac{1}{2}•AD•DE=2\sqrt{6}$．
设三棱锥C-ADE的高为h，则${V_{C-ADE}}=\frac{1}{3}•{S_{△ADE}}•h=\frac{8}{3}$，
所以$h=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题考查平面与平面垂直，几何体的体积的求法与应用，考查空间想象能力以及计算能力．