Question

16．函数$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（{x+\frac{1}{x}-\frac{17}{4}}）$的单调递增区间是（0，$\frac{1}{4}$）．

Answer 1

分析 先求函数的定义域，利用复合函数单调性之间的关系进行转化求解即可．

解答 解：x+$\frac{1}{x}$-$\frac{17}{4}$＞0得
①当x＞0时，4x²-17x+4＞0，得x＞4或0＜x＜$\frac{1}{4}$，
②当x＜0时，4x²-17x+4＜0，得$\frac{1}{4}$＜x＜4，此时无解，
即函数的定义域为（4，+∞）∪（0，$\frac{1}{4}$），
设t=g（x）=x+$\frac{1}{x}$-$\frac{17}{4}$，则y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$t为减函数，
要求函数$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（{x+\frac{1}{x}-\frac{17}{4}}）$的单调递增区间，
即求函数t=g（x）=x+$\frac{1}{x}$-$\frac{17}{4}$的递减区间，
由g′（x）＜0得g′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0，得x²＜1，即-1＜x＜1，
∵函数的定义域为（4，+∞）∪（0，$\frac{1}{4}$），
∴此时0＜x＜$\frac{1}{4}$，
即函数g（x）的单调递减区间为（0，$\frac{1}{4}$），
即函数f（x）的单调递增区间为（0，$\frac{1}{4}$），
故答案为：（0，$\frac{1}{4}$）．

点评 本题主要考查复合函数单调性的求解和判断，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．