Question

9．命题p：x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}2x+3y-6≤0\\ 2x+y-2≥0\\ x≤2\end{array}\right.$，q：x²+y²＞r²（r＞0），若p是q的充分不必要条件，则r的取值范围是（0，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）．

Answer 1

分析 画出满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}2x+3y-6≤0\\ 2x+y-2≥0\\ x≤2\end{array}\right.$的平面区域，分析出可行域内x²+y²的取值范围，结合p是q的充分不必要条件，即可得到r²的取值范围，进而得到r的取值范围．

解答 解：满足条件p：$\left\{\begin{array}{l}2x+3y-6≤0\\ 2x+y-2≥0\\ x≤2\end{array}\right.$的平面区域如右图所示：
当圆与直线2x+y-2=0相切时，r取得最大值，
由原点到直线2x+y-2=0的距离为$\frac{|2|}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
若p是q的充分不必要条件，则r＜$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
即r∈（0，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$），
故答案为：（0，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）．

点评 本题考查的知识点是充要条件及简单线性规划的应用，其中根据线性规划的方法，判断出满足约束条件p的x²+y²的取值范围，是解答本题的关键．