Question

18．关于下列命题：
①函数y=tanx的一个对称中心是（$\frac{π}{2}$，0）；
②函数y=cos2（$\frac{π}{4}$-x）是偶函数；
③函数y=4sin（2x-$\frac{π}{3}$）的一条对称轴是x=-$\frac{π}{12}$；
④函数y=sin（x+$\frac{π}{4}$）在闭区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上是增函数．
写出所有正确的命题的题号①③．

Answer 1

分析 由条件利用三角函数的图象和性质，得出结论．

解答 解：对于函数y=tanx，当x=$\frac{π}{2}$时，y无意义，故y=tanx的图象的一个对称中心是（$\frac{π}{2}$，0），故①正确．
∵函数y=cos2（$\frac{π}{4}$-x）=cos（$\frac{π}{2}$-2x）=sin2x，故它是奇函数，故②错误；
令2x-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{12}$，可得函数y=4sin（2x-$\frac{π}{3}$）的一条对称轴是x=-$\frac{π}{12}$，故③正确；
在区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上，x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，函数y=sin（x+$\frac{π}{4}$）在闭区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上没有单调性，故④错误，
故答案为：①③．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，属于基础题．