Question

已知等腰Rt△ABC，BC⊥AC，将△ABC绕着边AB旋转θ角到△ABC′，连接CC′，D为线段CC′的中点，P是线段AB上任一点．
（1）求证：CC′⊥DP；
（2）当三棱锥B-ACC′的体积达到最大时，点P在线段AB的什么位置时，直线AC与平面CDP所成的角最大？为多少？

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）首先，证明AB⊥平面COC′，然后，得到CC′⊥面ABD，从而得证；
（Ⅱ）利用空间向量法：以OC，OC′OB所在直线，为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，写出相关的点，然后，结合向量的基本运算进行求解．

解答： （1）证明：取AB中点O，连结OC，OC′
∵CB=CA，C′B=C′A，
∴CO⊥AB，C′O⊥AB，
∵OC∩OC′=O，
∴AB⊥平面COC′，
∵CC′?面COC′，
∴CC′⊥AB，
∵BC=BC′，D为CC′中点，
∴BD⊥CC′，
∵BD∩AB=B，
∴CC′⊥面ABD，
∵DP?面ABD，
∴CC′⊥DP．
（2）由 （1）得V_B-ACC′=

1

3

S_△OCC′•AB，
∵S_△OCC′=

1

2

OC•OC′sin∠COC′，
∴当∠COC′=

π

2

时，S_△OCC′取得最大值，
此时OC⊥OC′，S_△OCC′达到最大，
以OC，OC′OB所在直线，为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，
设P（0，0，m） AB=2，则A（0，0，-1），B（0，0，1），C（1，0，0），C′（0，1，0），D（

1

2

，

1

2

，0），

AC

=（1，0，0），

CD

=（-

1

2

，

1

2

，0），

CP

=（-1，0，m），
设平面CDP的法向量为

n

=（x，y，z），
则

n • CD =0 n • CP =0

，
∴

- 1 2 x+ 1 2 y=0 -x+mz=0

，令z=1，得x=y=m，
∴

n

=（m，m，1），
∴cos＜

n

，

AC

＞=

n • AC

| n || AC |

=

m+1

2 • 2m2+1

令f（m）=

m+1

2 • 2m2+1

，m∈[-1，1]，
∴f′（m）=

1-2m

(2m2+1) 2m2+1

，
令f′（m）=0．
∴m=

1

2

，
∵m∈（-1，

1

2

），f′（m）＞0．
m∈（

1

2

，1），f′（m）＜0．
∴f（m）max=f（

1

2

）=

3

2

．
此时，＜

n

，

AC

＞=

π

3

，BP=

1

4

AB，
∴当BP=

1

4

AB，直线AC与平面CDP所成的角最大，为

π

3

．

点评：本题综合考查了空间中垂直关系、平行关系，向量及其运算等知识，属于中档题．