Question

9．已知函数f（x）=asin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{a}{2}$+b（x∈R，a＞0，ω＞0）的最小正周期为π，函数f（x）的最大值是$\frac{7}{4}$，最小值是$\frac{3}{4}$，求函数的解析式f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由条件利用正弦函数的周期性求得ω的值，再根据正弦函数的最值求得a、b的值，可得函数的解析式．

解答 解：∵函数f（x）=asin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{a}{2}$+b（x∈R，a＞0，ω＞0）的最小正周期为π，
∴$\frac{2π}{2ω}$=π，∴ω=1．
再根据函数f（x）的最大值是$\frac{7}{4}$，最小值是$\frac{3}{4}$，
可得a+$\frac{a}{2}$+b=$\frac{7}{4}$，-a+$\frac{a}{2}$+b=$\frac{3}{4}$，求得a=$\frac{1}{2}$，b=1，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$，
故答案为：f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性，正弦函数的最值，属于基础题．