Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体DABC，如图所示．

(1)求证：BC⊥平面ACD；

(2)求几何体DABC的体积．

Answer 1

(1)证明：在平面图中，可得AC＝BC＝2，从而AC²＋BC²＝AB²，故AC⊥BC.取AC的中点O，连接DO，则DO⊥AC.又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，DO⊂平面ADC，从而DO⊥平面ABC，∴DO⊥BC.

又AC⊥BC，AC∩DO＝O，∴BC⊥平面ACD.

(2)解析：由(1)可知BC为三棱锥BACD的高，BC＝2，S_△ACD＝2，∴V_BACD＝S_△ACD·BC＝×2×2＝.

由等体积性可知，几何体DABC的体积为.