Question

如图，在四棱柱ABCDA₁B₁C₁D₁中，已知底面ABCD是边长为的正方形，侧棱D₁D垂直于底面ABCD，且D₁D＝3.

(1)点P在侧棱C₁C上，若CP＝1，求证：A₁P⊥平面PBD；

(2)求三棱锥A₁－BDC₁的体积V.

Answer 1

 (1)证明：依题意，CP＝1，C₁P＝2，在Rt△BCP中，PB＝＝，

同理可知，A₁P＝＝2，

A₁B＝＝，

所以A₁P²＋PB²＝A₁B²，则A₁P⊥PB，

同理可证，A₁P⊥PD，

由于PB∩PD＝P，PB⊂平面PBD，PD⊂平面PBD，

所以，A₁P⊥平面PBD.

(2)解析：如图，易知三棱锥A₁BDC₁的体积等于四棱柱的体积减去四个体积相等的三棱锥的体积，

即VA₁－BDC₁＝VABCD－A₁B₁C₁D₁－4VA₁－ABD

＝AB×AD×A₁A－4×××A₁A

＝×××3＝2.