Question

8．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}$=1，P为C上的任意点．
（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设F₁，F₂分别为双曲线C的两个焦点，若∠F₁PF₂为钝角，求点P的横坐标的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用点到直线的距离公式，结合双曲线的方程，即可证明；
（2）设双曲线上一点P（x，y），若双曲线上一点P使得∠F₁PF₂为钝角，则$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$＜0，由此列不等式解得P点横坐标的取值范围．

解答 （1）证明：设P（x，y），则
∵双曲线C的两条渐近线的方程为y=±$\frac{1}{2}$x，即x±2y=0
∴点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积$\frac{|（x+2y）（x-2y）|}{5}$=$\frac{4}{5}$；
（2）解：设P（x，y），则$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（x+$\sqrt{5}$，y），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（x-$\sqrt{5}$，y），
∵∠F₁PF₂为钝角，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$＜0
∴cos∠F₁PF₂＜0
∴（x+$\sqrt{5}$，y）•（x-$\sqrt{5}$，y）＜0  
即x²+y²-5＜0 
又$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}$=1
∴$\frac{5}{4}$x²-6＜0 
解得x＜-$\frac{2\sqrt{30}}{5}$或x＞$\frac{2\sqrt{30}}{5}$．

点评 本题考查双曲线的标准方程及向量知识，解题时要能熟练的由双曲线定义和标准方程解焦点三角形问题．