Question

19．写出一个以椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1和双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的离心率为根的方程x²-$\frac{5}{2}$x+1=0．

Answer 1

分析 求出椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1和双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的离心率．利用韦达定理，可得结论．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的离心率为$\frac{1}{2}$，双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的离心率为2，
∴2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，2×$\frac{1}{2}$=1，
∴以椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1和双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的离心率为根的方程为x²-$\frac{5}{2}$x+1=0．
故答案为：x²-$\frac{5}{2}$x+1=0．

点评 本题以椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1和双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的离心率为载体，考查一元二次方程，考查学生的计算能力，正确求出椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1和双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的离心率是关键．