Question

20．设x，y∈R，给出四个点A（2^x-1，y），B（1，1），C（x²+1，4），D（x²-1，1）
（1）若$\overrightarrow{AB}$∥$\overrightarrow{CD}$，把y表示成x的函数y=f（x）；
（2）对数列{a_n}，设a₁=a₂=1，且${4}^{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{3}$f（a_n）+$\frac{4}{3}$，（n≥2，n∈N^*），求$\underset{lim}{n→∞}$a_n．

Answer 1

分析 （1）求出向量的坐标，再由向量共线的坐标表示，即可得到所求函数的解析式；
（2）由题意化简可得a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n，（n≥2），再由等比数列的通项公式，可得a_n，再由数列极限的运算性质可得结论．

解答 解：（1）由题意可得$\overrightarrow{AB}$=（2-2^x，1-y），$\overrightarrow{CD}$=（-2，-3），
由若$\overrightarrow{AB}$∥$\overrightarrow{CD}$，可得-3（2-2^x）=-2（1-y），
即有y=f（x）=3•2^x-1-2；
（2）${4}^{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{3}$f（a_n）+$\frac{4}{3}$，可得
${4}^{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{3}$（3•${2}^{{a}_{n}-1}$-2）+$\frac{4}{3}$=${2}^{{a}_{n}}$，
即有a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n，（n≥2），
a₃=$\frac{1}{2}$a₂=$\frac{1}{2}$，
即有a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{（\frac{1}{2}）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$，
则$\underset{lim}{n→∞}$a_n=$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{1}{2}$）^n-2=0．

点评 本题考查等比数列的通项公式的运用，数列极限的求法，同时考查向量的共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．