Question

16．已知双曲线M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一条渐近线方程是$\sqrt{3}$x+y=0，点D（1，$\sqrt{2}$）在C上，过点（0，1）且斜率为k的直线1与双曲线M交于不同的两点A、B．
（1）求双曲线M的方程；
（2）若以线段AB为直径的圆经过坐标原点O，求实数k的值．

Answer 1

分析 （1）点D（1，$\sqrt{2}$）代入双曲线方程，结合且双曲线的一条渐近线的方程是$\sqrt{3}$x+y=0，建立方程，求出a，b，即可求双曲线C的方程；
（2）直接联立直线与双曲线方程，化为关于x的一元二次方程，存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点转化为k_OA•k_OB=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0，整理后代入根与系数关系求解实数k的值．

解答 解：（1）∵双曲线M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一条渐近线方程是$\sqrt{3}$x+y=0，点D（1，$\sqrt{2}$）在C上，
∴$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{2}{{b}^{2}}$=1，
∴a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，b=1，
∴双曲线M的方程为3x²-y²=1；
（2）∵直线l过点（0，1）且斜率为k，
∴直线l：y=kx+1．
代入双曲线方程得（3-k²）x²-2kx-2=0．
设点A、B的坐标为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．            
∴x₁+x₂=$\frac{2k}{3-{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{-2}{3-{k}^{2}}$
又以线段AB为直径的圆经过坐标原点，
则k_OA•k_OB=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=0，
即（k²+1）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0，
∴（k²+1）×$\frac{-2}{3-{k}^{2}}$+k×$\frac{2k}{3-{k}^{2}}$+1=0，解得k=±1．
又k=±1满足3-k²≠0且△=（-2k）²+8（3-k²）＞0，
∴所求实数k=±1．

点评 本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，训练了利用直线斜率的关系判断两直线的垂直关系，是中档题．