Question

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是边长为

2

的正方形，AA₁=3，点E在棱B₁B上运动．
（Ⅰ）证明：AC⊥D₁E；
（Ⅱ）若三棱锥B₁-A₁D₁E的体积为

2

3

时，求异面直线AD，D₁E所成的角．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）首先，连结BD，可以首先，证明AC⊥平面B₁BDD₁，然后，得到AC⊥D₁E；
（Ⅱ）首先，可以得到∠A₁D₁B₁为异面直线AD，D₁E所成的角，然后，根据ED1=2

2

，求解得到，∠A₁D₁E=60°．

解答： 解：（Ⅰ）如下图所示：

连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是直棱柱，
∴B₁B⊥平面ABCD，
∵AC?平面ABCD，
∴B₁B⊥AC，
∴AC⊥平面B₁BDD₁．
∵D₁E?平面B₁BDD₁，
∴AC⊥D₁E．

（Ⅱ）∵VB1-A1D 1E=VE-A1B 1D1，EB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
∴VE-A1B 1D1=

1

3

S△A1B1D1•EB1．
∵S△A1B1D1=

1

2

A1B1•A1D1=1，
∴VE-A1B 1D1=

1

3

EB1=

2

3

．
∴EB₁=2．∵AD∥A₁D₁，
∴∠A₁D₁B₁为异面直线AD，D₁E所成的角．
在Rt△EB₁D₁中，求得ED1=2

2

．
∵D₁A₁⊥平面A₁ABB₁，
∴D₁A₁⊥A₁E．
在Rt△EB₁D₁中，得
cos∠A1D1E=

2

2 2

=

1

2

，
∴∠A₁D₁E=60°．
∴异面直线AD，D₁E所成的角为60°．

点评：本题重点考查了线面垂直、线线垂直的判定与性质、异面直线所成的角等知识，属于中档题．