Question

图1和图2中的四边形ABCD和AEFG都是正方形．
（1）如图1，连结DE、BG，M为线段BG的中点，连结AM，探究AM与DE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
（2）在图1的基础上，将正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连结DE、BG，M为线段BG的中点，连结AM，探究AM与DE的数量关系和位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：计算题,作图题,空间位置关系与距离

分析：（1）设AM∩DE=O，根据图形可判断Rt△DAE≌Rt△BAG，利用对应角，边长，得出∠OEA+∠EAO=90°，即可得出垂直，相等问题；
（2）延长AM到N，使MN=AM，连结NG，根据图形可判断△MNG≌△ABM，△AGN≌△DAE，再由角的转化可得∠ADE+∠DAN=90°，从而证明．

解答： 解：（1）如图1，可得出AM=

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DE，AM⊥DE，证明如下，
设AM∩DE=O，
根据图形可判断Rt△DAE≌Rt△BAG，
∴∠BGA=∠DEA，∠EDA=∠GBA，DE=BG；
∵M为线段BG的中点，
∴MA=AB，AM=

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BG，
∴∠MAB=∠MBA，AM=

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DE，
∴∠OEA+∠EAO=90°，
∴∠EOA=90°，
∴AM⊥DE，
故AM=

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DE，AM⊥DE；
（2）可得出AM=

1

2

DE，AM⊥DE，证明如下，
延长AM到N，使MN=AM，连结NG，
∵MN=AM，BM=MG，∠NMG=∠BMA；
∴△MNG≌△ABM；
∴NG=AB=AD，AB∥NG，
∴NG⊥AD，
∴∠AGN=∠EAD，
又∵AE=AG，
∴△AGN≌△DAE，
∴AN=DE，
∴AM=

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2

AN=

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DE；
∠ADE=∠ANG，∠DAN+∠ANG=90°，
故∠ADE+∠DAN=90°，
故AM⊥DE．

点评：本题考查了平面图形中边角的关系判断与证明，同时考查了学生的作图能力，属于中档题．