Question

14．若过点P（a，b）（b≠a³-3a）可作曲线f（x）=x³-3x的切线恰有两条，则（a-1）²+（b-2）²的最小值为$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 设出切点，求出切点处的导函数即切线的斜率，据点斜式写出切线的方程，将切点代入，列出关于切点横坐标的方程，据题意此方程有两个根，构造函数，通过导函数求出两个极值，得到a，b的关系．进行求解即可．

解答 解：f′（x）=3x²-3，
过点点P（a，b）作曲线C的切线，设切点（x₀，f（x₀）），则切线方程为：y=（3x₀²-3）（x-a）+b，
将（x₀，f（x₀））代入得：f（x₀）=（3x₀²-3）（x₀-a）+b=x₀³-3x₀，
即2x₀³-3ax₀²+3a+b=0（*）   
由条件切线恰有两条，方程（*）恰有两根．
即2x₀³-3ax₀²+3a=-b
令u（x）=2x³-3ax²+3a，u′（x）=6x²-6ax=6x（x-a），
则a≠0时，有两个极值点x=0与x=a，
于是u（0）=-b或u（a）=-b
当u（0）=0时，3a=-b，即b=-3a，
当u（a）=-b时，2a³-3a³+3a=-a³+3a=-b，
即b=a³-3a，与b≠a³-3a矛盾，
∴b=-3a，即3a+b=0
则（a-1）²+（b-2）²的几何意义是直线3a+b=0上的点到定点M（1，2）的距离的平方，
则点M到直线的距离d=$\frac{|3+2|}{\sqrt{{3}^{2}+1}}=\frac{5}{\sqrt{10}}$，
则（a-1）²+（b-2）²的最小值为d²=（$\frac{5}{\sqrt{10}}$）²=$\frac{5}{2}$，
故答案为：$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查导数的几何意义以及在切点处的导数值为曲线的切线斜率；求函数的导数，利用导数法是解决本题的关键．