Question

6．已知四边形ABCD，∠A=∠C=90°，∠B=60°，AC=$\sqrt{15}$，求BD的长．

Answer 1

分析 以BD为直径做圆O，则A，B，C，D四点共圆，连结OA，OC，在△AOC中使用余弦定理求出圆的半径，继而得到直径的长．

解答 解：以BD为直径做圆O，∵∠A=∠C=90°，∴A，C在圆O上，连结OA，OC，
∵∠B=60°，∴∠AOC=120°，
设圆O半径为r，则OA=OC=r，BD=2r．
在△AOC中，由余弦定理得AC²=OA²+OC²-2OA•OCcos120°，
即r²+r²+r²=15，∴r=$\sqrt{5}$．
∴BD=2r=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了余弦定理的应用，作出辅助圆是解题关键．