Question

设函数f（x）的定义域为R⁺，且满足条件f（4）=1，对任意x₁，x₂∈R^﹢，有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），且当x₁≠x₂时，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）如果f（x+6）＞2，求x的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），可得f（1）=f（1）+f（1），由此求得f（1）的值．
（2）由条件可得f（16）=2，再根据函数f（x）在定义域R上是增函数以及f（x+6）＞2，可得x+6＞16，由此求得 x的值．

解答： 解：（1）由f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），可得f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1），故 f（1）=0．
（2）由条件可得f（16）=f（4）+f（4）=2，由

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0，可得函数f（x）在定义域R上是增函数，再根据f（x+6）＞2，
可得f（x+6）＞f（16），∴x+6＞16，x＞10．

点评：本题主要考查函数的单调性的判断，求函数的值，利用函数的单调性解不等式，属于基础题．