题目内容
5．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：| 时刻 | 2：00 | 5：00 | 8：00 | 11：00 | 14：00 | 17：00 | 20：00 | 23：00 |
| 水深（米） | 7.5 | 5.0 | 2.5 | 5.0 | 7.5 | 5.0 | 2.5 | 5.0 |
（1）根据以上数据，求出函数f（t）=Asin（ωt+ϕ）+b的表达式；
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4.25米，安全条例规定至少要有2米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船在一天内（0：00～24：00）何时能进入港口然后离开港口？每次在港口能停留多久？
分析 （1）由已知$A=\frac{{{f_{max}}-{f_{min}}}}{2}=\frac{5}{2}$，$b=\frac{{{f_{max}}+{f_{min}}}}{2}=5$，T=12，从而求出$ω=\frac{2π}{T}=\frac{π}{6}$，由此能求出函数f（t）=Asin（ωt+ϕ）+b的表达式．
（2）货船需要的安全水深为4.25+2=6.25米，当f（t）≥6.25时就可以进港，由此能求出货船可以在0时进港，早晨4时出港；或在中午12时进港，下午16时出港，每次可以在港口停留4小时左右．
解答 （本题满分12分）
解：（1）由表格知fmax=7.5，fmin=2.5，…（1分）
$A=\frac{{{f_{max}}-{f_{min}}}}{2}=\frac{5}{2}$，$b=\frac{{{f_{max}}+{f_{min}}}}{2}=5$…（2分）
T=12，∴$ω=\frac{2π}{T}=\frac{π}{6}$，…（4分）
即$f（t）=\frac{5}{2}sin（\frac{π}{6}t+ϕ）+5$
当t=2时，$\frac{π}{6}•2+ϕ=\frac{π}{2}+2kπ$，解得$ϕ=\frac{π}{6}+2kπ$，
又$|ϕ|＜\frac{π}{2}$，∴$ϕ=\frac{π}{6}$…（6分）
∴$f（t）=\frac{5}{2}sin（\frac{π}{6}t+\frac{π}{6}）+5$．
（2）货船需要的安全水深为4.25+2=6.25米，
∴当f（t）≥6.25时就可以进港．…（7分）
令$\frac{5}{2}sin（\frac{π}{6}t+\frac{π}{6}）+5≥6.25$，得$sin（\frac{π}{6}t+\frac{π}{6}）≥\frac{1}{2}$…（8分）
∴$\frac{π}{6}+2kπ≤\frac{π}{6}t+\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}+2kπ$，…（9分）
解得12k≤t≤4+12k，…（10分）
又t∈[0，24），故k=0时，t∈[0，4]；k=1时，t∈[12，16]…（11分）
即货船可以在0时进港，早晨4时出港；或在中午12时进港，下午16时出港，每次可以在港口停留4小时左右．…（12分）
点评 本题考查三函数在生产生活中的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．
| A． | 充分而不必要条件 | B． | 必要而不充分条件 | ||
| C． | 充分必要条件 | D． | 既不充分也不必要条件 |
| A． | $\sqrt{3}$ | B． | -$\sqrt{2}$ | C． | ±$\sqrt{3}$ | D． | ±$\sqrt{2}$ |
| A． | 2$\sqrt{2}$ | B． | 4$\sqrt{2}$ | C． | 2 | D． | 4 |
| A． | $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{BQ}$ | B． | $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{QC}$ | C． | $\overrightarrow{QC}+\overrightarrow{CQ}-\overrightarrow{QP}$ | D． | $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BQ}$ |