Question

17．设函数f（x）=$\sqrt{x-2}+\sqrt{11-x}$的最大值为M．
（Ⅰ）求实数M的值；
（Ⅱ）求关于x的不等式|x-$\sqrt{2}$|+|x+2$\sqrt{2}$|≤M的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用基本不等式以及重要不等式，转化求解函数的最值，即可求实数M的值；
（Ⅱ）通过绝对值不等式的几何意义，之间求关于x的不等式|x-$\sqrt{2}$|+|x+2$\sqrt{2}$|≤M的解集．

解答 （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：（I）因为a，b＞0时，$（{\frac{a+b}{2}）}^{2}≤\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$，
所以$f（x）=\sqrt{x-2}+\sqrt{11-x}≤2\sqrt{\frac{（x-2）+（11-x）}{2}}=3\sqrt{2}$，
当且仅当$x=\frac{13}{2}$时等号成立． 故函数f（x）的最大值$M=3\sqrt{2}$---------------（5分）
（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得$|{x-\sqrt{2}}|+|{x+2\sqrt{2}}|≥|{（x-\sqrt{2}）-（x+2\sqrt{2}）}|=3\sqrt{2}$．
所以不等式$|x-\sqrt{2}|+|x+2\sqrt{2}|≤3\sqrt{2}$的解x就是
方程$|x-\sqrt{2}|+|x+2\sqrt{2}|=3\sqrt{2}$的解．
由绝对值的几何意义得，当且仅当$-2\sqrt{2}≤x≤\sqrt{2}$时，$|x-\sqrt{2}|+|x+2\sqrt{2}|=3\sqrt{2}$．
所以不等式$|x-\sqrt{2}|+|x+2\sqrt{2}|≤M$的解集为：$\{x|-2\sqrt{2}≤x≤\sqrt{2}\}$--------------（10分）

点评 本题考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的几何意义，考查转化思想以及计算能力．