Question

如图所示，在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝AD＝1，AA₁＝2，M是棱CC₁的中点．

(1)求异面直线A₁M和C₁D₁所成的角的正切值；

(2)证明：平面ABM⊥平面A₁B₁M.

Answer 1

方法1：(1)如图，因为C₁D₁∥B₁A₁，所以∠MA₁B₁为异面直线A₁M与C₁D₁所成的角．

因为A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，所以∠A₁B₁M＝90°，

而A₁B₁＝1，B₁M＝＝，故

tan∠MA₁B₁＝＝.

即异面直线A₁M和C₁D₁所成的角的正切值为.

(2)证明：由A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，BM⊂平面平面BCC₁B₁，得A₁B₁⊥BM①

由(1)知，B₁M＝，

又BM＝＝，B₁B＝2，

所以B₁M²＋BM²＝B₁B²，从而BM⊥B₁M②

又A₁B₁∩B₁M＝B₁，∴BM⊥平面A₁B₁M，而BM⊂平面ABM，因此平面ABM⊥平面A₁B₁M.

方法2：以A为原点，，，的方向分别作为x、y、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，A₁(0,0,2)，B₁(1,0,2)，C₁(1,1,2)，D₁(0,1,2)，M(1,1,1)．

设异面直线A₁M与C₁D₁所成角为α，则cosα＝，

∴tanα＝.

即异面直线A₁M和C₁D₁所成的角的正切值是.

又B₁M∩A₁B₁＝B₁，

∴BM⊥平面A₁B₁M，而BM⊂平面ABM，

因此ABM⊥平面A₁B₁M.