Question

如图，在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA₁，D是棱AA₁的中点．

(1)证明：平面BDC₁⊥平面BDC；

(2)平面BDC₁分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．

Answer 1

(1)证明：由题设知BC⊥CC₁，BC⊥AC，CC₁∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC₁A₁.

又DC₁⊂平面ACC₁A₁，所以DC₁⊥BC.

由题设知∠A₁DC₁＝∠ADC＝45°，

所以∠CDC₁＝90°，即DC₁⊥DC.

又DC∩BC＝C，所以DC₁⊥平面BDC.

又DC₁⊂平面BDC₁，故平面BDC₁⊥平面BDC.

(2)设棱锥B－DACC₁的体积为V₁，AC＝1.

由题意得，V₁＝××1×1＝.

又三棱柱ABC－A₁B₁C₁的体积V＝1，所以(V－V₁)V₁＝11.

故平面BDC₁分此棱柱所得两部分体积的比为11.

[点评]　本题考查线面的位置关系及几何体体积的求法．求解几何体的体积时，若遇不规则的几何体时，经常采用割补法和间接法求其体积．