Question

等差数列{a_n}中，a₁=1，a₃=7．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）设b_n=a_n•2 an，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据a₁=2，a₃=7求出公差，再代入数列{a_n}的通项公式求出a_n；
（Ⅱ）把a_n代入b_n=a_n•2 an化简后，再由错位相减法求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁=1，a₃=7，∴a₁+2d=7，解得d=3，
则a_n=1+（n-1）×3=3n-2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a_n=3n-2，
∴b_n=a_n•2 an=（3n-2）•2^3n-2=

3n-2

4

•8n，
∴S_n=

1

4

[1×8¹+4×8²+7×8³+…+（3n-5）•8^n-1+（3n-2）•8ⁿ]
8S_n=

1

4

[1×8²+4×8³+7×8⁴+…+（3n-5）•8ⁿ+（3n-2）•8ⁿ⁺¹]
两式相减得-7S_n=

1

4

[8+3（8²+8³+8⁴+…+8ⁿ）-（3n-2）•8ⁿ⁺¹]
=

1

4

[8+3×

64(1-8n-1)

1-8

-(3n-2)•8n+1]
=-

34

7

-

42n-34

7

•8n，
则Sn=

34

49

+

42n-34

49

•8n．

点评：本题考查数列的通项公式，等差数列与等比数列的综合问题，错位相减法求数列的和，确定数列的通项公式是关键，考查了运算化简能力．