Question

已知函数f（x）=2（sinx+cosx）cosx．
（1）求f（

5π

4

）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）由π+α的诱导公式和特殊角的三角函数值，即可得到；
（2）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简f（x），得到

2

sin（2x+

π

4

）+1，再由正弦函数的周期公式和单调增区间，即可得到结果．

解答： 解：（1）f（

5π

4

）=2cos

5π

4

（sin

5π

4

+cos

5π

4

）
=-2cos

π

4

（-sin

π

4

-cos

π

4

）=-

2

•(-

2

)=2．
（2）∵f（x）=2sinxcosx+2cos²x=sin2x+cos2x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+1
∴T=

2π

2

=π，即函数f（x）的最小正周期是π，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间是[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z．

点评：本题考查二倍角公式和两角和的正弦公式的运用，考查三角函数的周期性和单调性，属于基础题．