Question

如图所示，作斜率为-

1

4

的直线l与抛物线D：2y²=x相交于不同的两点B、C，点A（2，1）在直线l的右上方．
（1）求证：△ABC的内心在直线x=2上；
（2）若∠BAC=90°，求△ABC内切圆的半径．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）只要证明k_AB+k_AC=0即可；
（2）利用三角形的面积计算公式和内切圆的性质即可得出．

解答： （1）证明：设BC直线为y=-

1

4

x+t，B(x1，y1)，C(x2，y2)，
由

y=- 1 4 x+t 2y2=x

得y²+2y-2t=0，
∴y₁+y₂=-2，y₁y₂=-2t．
∵KAB+KAC=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

(2y1y2+2)(y1+y2)-8t+4

(x1-2)(x2-2)

=

(-4t+2)(-2)-8t+4

(x1-2)(x2-2)

=0，
∴∠BAC的平分线为x=2，即△ABC内心在定直线x=2上．
（2）解：∵∠BAC=90°，由（1）知直线AB：y=x-1，直线AC：y=3-x，
由

y=x-1 2y2=x

解得B(

1

2

，-

1

2

)，
同理可得C(

9

2

，-

3

2

)∴|AB|=

3 2

2

，|AC|=

5 2

2

，|BC|=

17

．
∵SRt△ABC=

1

2

×|AB|×|AC|=

1

2

(|AB|+|AC|+|BC|)×r，
∴r=

|AB|×|AC|

|AB|+|AC|+|BC|

，
∴r=

3 2 2 × 5 2 2

3 2 2 + 5 2 2 + 17

=

4 2 - 17

2

．

点评：本题考查了三角形的面积计算公式和内切圆的性质、三角形内心的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．