Question

16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且B=60°，c=4．
（Ⅰ）若b=6，求角C的正弦值及△ABC的面积；
（Ⅱ）若D，E在线段BC上，且BD=DE=EC，$AE=2\sqrt{3}BD$，求AD的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据正弦定理和两角和的正弦公式和三角形的面积公式即可求出，
（Ⅱ）设BD=x，由余弦定理求出x的值，再根据勾股定理即可求出．

解答 解：（Ⅰ）B=60°，c=4，b=6，
在△ABC中，由正弦定理$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
得$sinC=\frac{csinB}{b}=\frac{{4•\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{6}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
又b＞c，所以B＞C，则C为锐角，所以$cosC=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
则sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}•\frac{{\sqrt{6}}}{3}+\frac{1}{2}•\frac{{\sqrt{3}}}{3}=\frac{{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}}{6}$，
所以△ABC的面积$S=\frac{1}{2}bcsinA=12•\frac{{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}}{6}=6\sqrt{2}+2\sqrt{3}$．
（Ⅱ）设BD=x，则BE=2x，$AE=2\sqrt{3}x$，又B=60°，c=4，
在△ABE中，由余弦定理得12x²=16+4x²-2•4•2x•cos60°，
即8x²=16-8x，解得x=1，
则BE=2，所以∠AEB=90°，
在直角△ADE中，$AD=\sqrt{A{E^2}+D{E^2}}=\sqrt{12+1}=\sqrt{13}$．

点评 本题考查了正弦定理和余弦定理和三角形的面积公式和两角和的正弦公式，考查了学生的运算能力和分析解决问题的能力，属于中档题