Question

设a∈R，函数f（x）=lnx-ax，g（x）=

1

3

x³+x+1．
（1）若曲线y=g（x）的切线l过点A（0，

1

3

），求切线l的方程；
（2）讨论函数h（x）=2f（x）+g（x）-

1

3

x³的单调性；
（3）若x₁，x₂是函数f（x）的两个相异零点，求证：g（x₁x₂）＞g（e²）．（e为自然对数底数）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数零点的判定定理,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）设切点为（m，

1

3

m³+m+1），切线方程为y-（

1

3

m³+m+1）=（m²+1）（x-m），代入点A得方程；（2）求导，由导数确定单调性；（3）构造函数μ（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，t∈（1，+∞），并判断其单调性，由此得到g（x₁x₂）＞g（e²）．

解答： 解：（1）设切点为（m，

1

3

m³+m+1），又∵g′（x）=x²+1．
∴切线的斜率=m²+1，
即切线方程为y-（

1

3

m³+m+1）=（m²+1）（x-m），
∴

1

3

-（

1

3

m³+m+1）=（m²+1）（0-m），
解得，m=1，
则切线方程为2x-y+

1

3

=0．
（2）h（x）=2f（x）+g（x）-

1

3

x³=2lnx-2ax+x+1，x∈（0，+∞）
h′（x）=

(1-2a)x+2

x

，
①当a≤

1

2

时，h′（x）＞0，即h（x）在（0，+∞）上是增函数；
②当a＞

1

2

时，由h′（x）＞0解得0＜x＜

2

2a-1

；
∴h（x）在（0，

2

2a-1

）上是增函数，在（

2

2a-1

，+∞）上是减函数．
（3）证明：∵x₁，x₂是函数f（x）的两个相异零点，不妨设x₁＞x₂＞0，
∴lnx₁-ax₁=0，lnx₂-ax₂=0；
∴a=

lnx1-lnx2

x1-x2

．
故（x₁-x₂）（a-

2

x1+x2

）=ln

x1

x2

-

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

，
设

x1

x2

=t（t＞1），则μ（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，t∈（1，+∞），
μ′（t）=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
∴μ（t）在（1，+∞）是增函数，故μ（t）＞0，
又∵x₁-x₂＞0，∴a-

2

x1+x2

＞0，
∴lnx₁，+lnx₂=ax₂+ax₁＞0；
从而x₁•x₂＞e²．
又g（x）=

1

3

x³+x+1在R上是增函数，则g（x₁x₂）＞g（e²）．

点评：本题考查了导数的综合应用，化简比较困难，属于难题．