Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量

m

=（2b-c，a），

n

=（cosA，-cosC）且

m

⊥

n

，
（1）求角A的大小；
（2）若a=

3

，S_△ABC=

3 3

4

，试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

考点：三角形的形状判断,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由（2b-c）cosA-acosC=0及正弦定理可求得sinB（2cosA-1）=0，从而可得角A的大小；
（2）由S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3 3

4

，可得bc=3，①；再由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA可得b²+c²=6，②；联立①②可求得b=c=

3

，从而可判断△ABC的形状．

解答： 解：（1）由（2b-c）cosA-acosC=0及正弦定理，得（2sinB-sinC）cosA-sinAcosC=0，
∴2sinBcosA-cos（A+C）=0，sinB（2cosA-1）=0．
∵0＜B＜π，
∴sinB≠0，
∴cosA=

1

2

．
∵0＜A＜π，
∴A=

π

3

．

（2）△ABC为等边三角形，
∵S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3 3

4

，
即

1

2

bcsin

π

3

=

3 3

4

，
∴bc=3，①
∵a²=b²+c²-2bccosA，A=

π

3

，a=

3

，
∴b²+c²=6，②
由①②得b=c=

3

，
∴△ABC为等边三角形．

点评：本题考查三角形形状的判断，着重考查正弦定理与余弦定理的应用，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．