Question

社会只有在稳定中才能发展，过高的失业率是社会不稳定的重大因素，各国政府十分注重控制失业率．2008年全球经济危机，各国失业率普遍上升．某地区2008年第一季度的失业率为10%，当地政府果然采取一系列措施，例如：扩大内需、鼓励轮班工作，岗位共享、培训过渡等，假设该地区的劳动人员数p不变，自2008年第一季度起，每年每季度统计分析一次，发现呈现如下规律：上季度在岗人员中有x%的人员本季度失业，上季度失业人员中有97%的人员本季度重新上岗．记2008年第一季度的失业率为a&₁，第二季度的失业率为a₂，第三季度的失业率为a₃，…，依此类推，各季度的失业率构成数列{a_n}．
（1）写出数列{a_n}的一个递推关系式，要使每个季度的失业率逐步减少，则x满足什么条件？
（2）假设该地区的失业率不大于5%，社会十分稳定和谐，在当地政府采取有力措施后，上季度在岗人员中只有5%的人员本季度失业（即x=5），问该地区从2008年的第二季度开始，社会是否稳定和谐．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：（1）根据题意列出递推关系式a_n+1-

x

97+x

=（3-x）%•（a_n-

x

x+97

），得出则

1 10 - x x+97 ＞0 3-x＞0

求解即可．
（2）根据式子a_n＞a_n-1（n≥3），且a₃＞a₅＞a₇，判断出最大项求解．

解答： 解：（1）以题意知：a_n+1•p=a_n•p•（1-97%）+（1-a_n）•p•x%
∴递推关系为a_n+1=a_n•（3-x）%+x%
a₁=10%，
∴a_n+1-

x

97+x

=（3-x）%•（a_n-

x

x+97

）
∴a_n-

x

x+97

=（

1

10

-

x

x+97

）[（3-x）%]^n-1
要使数列{a_n}为递减数列，
则

1 10 - x x+97 ＞0 3-x＞0

，解得

x＜ 97 9 x＜3

，∴0＜x＜3
（2）由（1）知x=5时，a_n=（

1

10

-

5

102

）•（-2%）^n-1+

5

102

，n∈N^*
∴当n为奇数时，a_n＞a_n-1（n≥3），且a₃＞a₅＞a₇，
∴n≥2时，a₃最大，a₃=

26

510

•

1

250

+

5

102

＜5%，
所以自2008 年季度后，该地区稳定和谐．

点评：本题综合考查了数列在实际问题中的应用，属于难题．