Question

15．已知不等式f（x）=3$\sqrt{2}$sin $\frac{x}{4}$•cos $\frac{x}{4}$+$\sqrt{6}$cos²$\frac{x}{4}$-$\frac{\sqrt{6}}{2}$+m≤0，对于任意的-$\frac{5π}{6}$≤x≤$\frac{π}{6}$恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． m≥$\sqrt{3}$
• B． m≤$\sqrt{3}$
• C． m≤-$\sqrt{3}$
• D． -$\sqrt{3}$≤m≤$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用根据二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，确定m的不等式关系，进而利用x的范围和正弦函数的性质确定$\sqrt{6}$sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）的范围，进而求得m的范围．

解答 解：∵f（x）=3$\sqrt{2}$sin $\frac{x}{4}$•cos $\frac{x}{4}$+$\sqrt{6}$cos²$\frac{x}{4}$-$\frac{\sqrt{6}}{2}$+m=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{\sqrt{6}}{2}$cos$\frac{x}{2}$+m≤0，
∴-m≥$\sqrt{6}$sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$），
∵-$\frac{5π}{6}$≤x≤$\frac{π}{6}$，
∴-$\frac{π}{4}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{4}$，
∴-$\sqrt{3}$≤$\sqrt{6}$sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）≤$\sqrt{3}$，
∴-m≥$\sqrt{3}$．
∴m≤-$\sqrt{3}$，
故选：C．

点评 本题主要考查了三角函数的化简求值，三角函数的最值问题，不等式恒成立的问题．涉及了知识面较多，考查了知识的综合性，属于中档题．