Question

5．如图，在三棱台ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，AB=2A₁B₁=2CC₁，M，N分别为AC，BC的中点．
（1）求证：AB₁∥平面C₁MN；
（2）若AB⊥BC且AB=BC，求二面角C-MC₁-N的大小．

Answer 1

分析 （1）连接B₁N，B₁C，设B₁C与NC₁交于点G，推导出四边形B₁C₁CN是平行四边形，从而MG∥AB₁，由此能证明AB₁∥平面C₁MN．
（2）以点M为坐标原点，MA，MB，MA₁所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C-MC₁-N的大小．

解答 证明：（1）连接B₁N，B₁C，
设B₁C与NC₁交于点G，在三棱台ABC-A₁B₁C₁中，
AB=2A₁B₁，则BC=2B₁C₁，
而N是BC的中点，B₁C₁∥BC，
则B₁C₁$\underset{∥}{=}$NC，所以四边形B₁C₁CN是平行四边形，G是B₁C的中点，
在△AB₁C中，M是AC的中点，则MG∥AB₁，
又AB₁?平面C₁MN，MG?平面C₁MN，
所以AB₁∥平面C₁MN．
解：（2）由CC₁⊥平面ABC，可得A₁M⊥平面ABC，
而AB⊥BC，AB=BC，则MB⊥AC，
所以MA，MB，MA₁两两垂直，
故以点M为坐标原点，MA，MB，MA₁所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设AB=2，则A₁B₁=CC₁=1，AC=2$\sqrt{2}$，AM=$\sqrt{2}$，
B（0，$\sqrt{2}$，0），C（-$\sqrt{2}$，0，0），C₁（-$\sqrt{2}$，0，1），N（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），
则平面ACC₁A₁的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
设平面C₁MN的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MN}=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MC}=-\sqrt{2}x+z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，则$\overrightarrow{n}$=（1，1，$\sqrt{2}$），
cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{1}{2}$，
由图形得得二面角C-MC₁-N为锐角，
所以二面角C-MC₁-N的大小为60°．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．