Question

函数f（x）是定义域为R的偶函数，对任意x∈R均有f（x+4）=f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=log_a（4-x）（a＞1）
（1）当x∈[-2，0]时，求f（x）的表达式；
（2）当x∈[4k-2，4k+2]（k∈z）时，求f（x）的表达式；
（3）若f（x）的最大值为2，解关于x的不等式f（x）＞log₂3．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数奇偶性的性质,抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）当x∈[-2，0]时，f（x）=f（-x），代入即可得到；
（2）由f（x+4）=f（x）可得4是f（x）的周期，当x∈[4k-2，4k]时，x-4k∈[-2，0），代入可得f（x）=log_a[4+（x-4k）]；
当x∈[4k，4k+2]（k∈Z）时，x-4k∈[0，2]，代入可得f（x）=f（x-4k）=log_a[4-（x-4k）]；
（3）f（x）的最大值为2，求出a=2，再求x∈[-2，2时的解集，利用周期为4，可得不等式的解集．

解答： 解：（1）当x∈[-2，0]时，f（x）=f（-x）=log_a[4-（-x）]=log_a（4+x）；
（2）当x∈[4k-2，4k]（k∈z）时，x-4k∈[-2，0]，
f（x）=f（x-4k）=log_a[4+（x-4k）]．
当x∈[4k，4k+2]（k∈Z）时，x-4k∈[0，2]，
f（x）=f（x-4k）=log_a[4-（x-4k）]．
故当x∈[4k-2，4k+2]（k∈Z）时，f（x）的表达式为
f（x）=

loga[4+(x-4k)]，x∈[4k-2，4k) loga[4-(x-4k)]，x∈[4k，4k+2]

；
（3）∵f（x）是以4为周期的周期函数，且为偶函数，
∴f（x）的最大值就是当x∈[0，2]时，f（x）的最大值．
∵a＞1，∴f（x）=log_a（4-x）在[0，2]上是减函数，
∴f（x）的最大值为f（0）=log_a4=2，∴a=2．
当x∈[-2，2]时，f（x）=log₂（4-|x|），
由f（x）＞log₂3，即有4-|x|＞3，
解得-1＜x＜1．
∵f（x）是以4为周期的周期函数，
∴f（x）＞log₂3的解集为（4k-1，4k+1）（k∈Z）．

点评：本题主要考查周期函数，解题的关键是正确利用周期，及已知定义域上的解析式，属于中档题．