Question

求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：
（1）长轴长是短轴长的2倍，且经过点P（2，0）的椭圆；
（2）焦点在y轴上，a=2

5

，经过点A（2，5）的双曲线；
（3）顶点在原点，对称轴是坐标轴，并经过点P（1，-2）的抛物线．

Answer 1

考点：双曲线的标准方程,椭圆的标准方程,抛物线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）当椭圆焦点在x轴，设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由已知得a=2，b=1；当椭圆焦点在x轴，设椭圆方程为

x2

b2

+

y2

a2

=1（a＞b＞0），由已知得a=4，b=2．由此能求出椭圆方程．
（2）设双曲线标准方程为：

y2

a2

-

x2

b2

=1，a＞0，b＞0，由已知得

a=2 5 25 a2 - 4 b2 =1

，由此能求出双曲线方程．
（3）当焦点在x轴正半轴，设方程为y²=2px，p＞0；当焦点在y轴负半轴，设方程为x²=-2py，p＞0．再代入（1，-2），能求出抛物线方程．

解答： 解：（1）当椭圆焦点在x轴，设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由已知得a=2，b=1，
∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1．
当椭圆焦点在x轴，设椭圆方程为

x2

b2

+

y2

a2

=1（a＞b＞0），
由已知得a=4，b=2，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

16

=1．
（2）设双曲线标准方程为：

y2

a2

-

x2

b2

=1，a＞0，b＞0，
由已知得

a=2 5 25 a2 - 4 b2 =1

，解得b=4，
∴双曲线方程为

y2

20

-

x2

16

=1
（3）当焦点在x轴正半轴，设方程为y²=2px，p＞0
代入（1，-2），则4=2p，解得p=2，
抛物线方程为y²=4x．
当焦点在y轴负半轴，设方程为x²=-2py，p＞0，
代入（1，-2），则1=4p，解得p=

1

4

，
抛物线方程为x²=-

1

2

y．

点评：本题考查椭圆、双曲线、抛物线方程的求法，是基础题，解题时要注意圆锥曲线的性质的合理运用．